The force of mortality

Daya kematian merupakan konsep penting dan mendasar dalam pemodelan lifetime. Dengan menunjukkan kekuatan kematian pada usia x oleh μx dan mendefinisikannya sebagai 

dengan cara yang sama dari definisi μx  adalah 

yang dapat ditulis dalam bentuk fungsi survival Sx seperti

Perhatikan bahwa daya kematian tergantung, numerik, pada unit waktu; jika kita yang mengukur waktu bertahun-tahun, maka μx diukur per tahun.

Daya kematian paling baik dipahami dengan mencatat bahwa untuk dx sangat kecil, rumus sebelumnya memberikan pendekatan

Jadi, untuk dx sangat kecil, kita dapat menafsirkan μxdx sebagai probabilitas bahwa suatu kehidupan yang telah mencapai usia x meninggal sebelum usia mencapai x + dx. Misalnya, kita memiliki laki-laki berusia tepat 50 dan bahwa kekuatan kematian pada usia 50 adalah 0,0044 per tahun. Nilai kecil dx mungkin satu hari, atau 0,00274 tahun. Kemudian probabilitas perkiraan yang (50) meninggal pada hari ulang tahunnya adalah 0,0044 × 0,00274 = 0.000012

Kita bisa menghubungkan the force of mortality ke fungsi kelangsungan hidup sejak lahir, S0.

 dari rumus sebelumnya diberikan

oleh karena itu

Dari hasil standar dalam teori probabilitas, kita tahu bahwa fungsi kepadatan probabilitas untuk variabel random Tx, yang dinotasikan dengan fx, dihubungkan dengan fungsi distribusi Fx dan fungsi Sx kelangsungan hidup oleh

 sehingga berdasarkan persamaan sebelumnya diperoleh

kita dapat menghubungkan fungsi the force of mortality pada suatu usia x + t, t > 0 untuk distribusi lifetime Tx. Asumsikan bahwa x tetap dan t adalah variebel. maka d(x + t) = dt, sehingga

maka

Hubungan ini memberikan cara untuk menemukan μx + t diberikan Sx(t). Kita juga dapat menggunakan persamaan sebelumnya untu mengembangkan rumus Sx(t) dalam bentuk fungsi the force of mortality. Dengan menggunakan fakta bahwa untuk suatu fungsi h dari turunan yang ada

dari rumus sebelumnya dipunyai

dan intgrasi identitas ini melalui daerah (0, y)

log S0(0)= log P[T0>0]=log 1= 0, diperoleh

berdasarkan ini dengan dengan demikian

ini berarti bahwa jika kita tahu μx untuk setiap x lebih besar sama dengan 0, kita dapat menghitung semua peluang survival Sx(t), untuk suatu x dan t. Dalam kata lain, fungsi the force of mortality sepenuhnya menggabarkan distribusi lifetime, seperti fungsi S0  . Pada kenyataanya, ini memudahkan untuk mendeskripsikan distribusi lifetime menggunakan fungsi the force of mortality daripada fungsi survival.