The force of mortality

Daya kematian merupakan konsep penting dan mendasar dalam pemodelan lifetime. Dengan menunjukkan kekuatan kematian pada usia x oleh μx dan mendefinisikannya sebagai 

dengan cara yang sama dari definisi μx  adalah 

yang dapat ditulis dalam bentuk fungsi survival Sx seperti

Perhatikan bahwa daya kematian tergantung, numerik, pada unit waktu; jika kita yang mengukur waktu bertahun-tahun, maka μx diukur per tahun.

Daya kematian paling baik dipahami dengan mencatat bahwa untuk dx sangat kecil, rumus sebelumnya memberikan pendekatan

Jadi, untuk dx sangat kecil, kita dapat menafsirkan μxdx sebagai probabilitas bahwa suatu kehidupan yang telah mencapai usia x meninggal sebelum usia mencapai x + dx. Misalnya, kita memiliki laki-laki berusia tepat 50 dan bahwa kekuatan kematian pada usia 50 adalah 0,0044 per tahun. Nilai kecil dx mungkin satu hari, atau 0,00274 tahun. Kemudian probabilitas perkiraan yang (50) meninggal pada hari ulang tahunnya adalah 0,0044 × 0,00274 = 0.000012

Kita bisa menghubungkan the force of mortality ke fungsi kelangsungan hidup sejak lahir, S0.

 dari rumus sebelumnya diberikan

oleh karena itu

Dari hasil standar dalam teori probabilitas, kita tahu bahwa fungsi kepadatan probabilitas untuk variabel random Tx, yang dinotasikan dengan fx, dihubungkan dengan fungsi distribusi Fx dan fungsi Sx kelangsungan hidup oleh

 sehingga berdasarkan persamaan sebelumnya diperoleh

kita dapat menghubungkan fungsi the force of mortality pada suatu usia x + t, t > 0 untuk distribusi lifetime Tx. Asumsikan bahwa x tetap dan t adalah variebel. maka d(x + t) = dt, sehingga

maka

Hubungan ini memberikan cara untuk menemukan μx + t diberikan Sx(t). Kita juga dapat menggunakan persamaan sebelumnya untu mengembangkan rumus Sx(t) dalam bentuk fungsi the force of mortality. Dengan menggunakan fakta bahwa untuk suatu fungsi h dari turunan yang ada

dari rumus sebelumnya dipunyai

dan intgrasi identitas ini melalui daerah (0, y)

log S0(0)= log P[T0>0]=log 1= 0, diperoleh

berdasarkan ini dengan dengan demikian

ini berarti bahwa jika kita tahu μx untuk setiap x lebih besar sama dengan 0, kita dapat menghitung semua peluang survival Sx(t), untuk suatu x dan t. Dalam kata lain, fungsi the force of mortality sepenuhnya menggabarkan distribusi lifetime, seperti fungsi S0  . Pada kenyataanya, ini memudahkan untuk mendeskripsikan distribusi lifetime menggunakan fungsi the force of mortality daripada fungsi survival.

SURVIVAL MODEL

Ketika sebuah perusahaan asuransi menerbitkan kebijakan, maka tanggal kematian pemegang polis tidak diketahui, sehingga perusahaan asuransi tidak tahu persis ketika benefit dari kematian akan dibayarkan. Dalam rangka untuk memperkirakan waktu di mana benefit dari kematian dibayarkan, perusahaan asuransi membutuhkan model kematian manusia, dari yang kemungkinan kematian pada usia tertentu dapat dihitung, dan ini adalah topik postingan ini.

Misalkan (x) menotasikan suatu umur x, dimana x lebih besar sama dengan 0 (nol). Kematian dari (x) dapat terjadi pada setiap usia yang lebih besar dari x, dan model kehidupan masa mendatang dari x dengan variabel kontinyu yang dinotasikan oleh Tx . berarti x +  Tx  merupakan variabel usia pada saat kematian untuk (x).

misalkan Fx  adalah fungsi distribusi dari Tx , sehingga

 maka Fx  merupakan peluang bahwa (x) tidak bertahan hidup melebihi x + t. dan kita lihat Fx sebagai distribusi waktu hidup dari usia x. Dalam masalah asuransi jiwa lebih tertarik pada probabilitas kelangsungan hidup daripada kematian, dan begitu kita mendefinisikan Sx sebagai

Dengan demikian, Sx(t) merupakan probabilitas bahwa (x) bertahan selama bertahun-tahun setidaknya t, dan Sx dikenal sebagai survival fuction. 

Mengingat penafsiran kita tentang pengumpulan variabel acak {Tx} x ≥ 0 sebagai masa depan waktu hidup individu, kita perlu koneksi antara setiap pasang dari mereka. Untuk melihat ini, perhatikan T0 dan Tx untuk individu tertentu yang kini berusia x. T0 merupkan variabel acak mewakili waktu hidup di masa depan yang lahir untuk individu ini, sehingga, saat lahir, usia individu pada saat kematian akan diwakili oleh T0. Orang ini bisa saja meninggal sebelum usia mencapai x - kemungkinan ini Pr [T0 <x] - tetapi telah bertahan hidup. Sekarang individu telah bertahan samapai usia x, sehingga T0> x, seumur hidup masa nya diwakili oleh Tx dan usia saat meninggal sekarang x + Tx. Jika individu meninggal dalam tahun t dari sekarang, maka Tx ≤ t dan T0 ≤ x + t. Dapat dikatakan, kita memerlukan peristiwa [Tx ≤ t] dan [T0 ≤ x + t] untuk menjadi setara, mengingat bahwa individu bertahan dengan usia x. Untuk mencapai hal ini dengan membuat asumsi berikut untuk semua x ≥ 0 dan untuk semua t >0.

 Ini merupakan hubungan penting.

Sekarang, ingat dari teori probabilitas bahwa untuk dua event A dan B. 

begitu, menafsirkan [T0 ≤ x + t] sebagai kejadian A, dan [T0> x] sebagai peristiwa B, kita dapat
mengatur ulang sisi kanan untuk memperoleh

 ini berarti

 juga dengan menggunakan 

maka

yang dapat di tulis sebagai,

Ini adalah hasil yang sangat penting. Hal ini menunjukkan bahwa kita dapat menafsirkan probabilitas bertahan hidup dari usia x sampai usia x + t sebagai produk dari :
(1) peluang bertahan hidup sampai usia x sejak lahir, dan
(2) peluang, setelah betahan hidup sampai usia x, untuk lebih bertahan hidup untuk usia x + t.
contoh:
misal 

 Hitung probabilitas bahwa
(a) kehidupan baru lahir selamat setelah usia 30
(b) hidup yang berusia 30 meninggal sebelum usia 50, dan
(c) kehidupan yang berusia 40 bertahan setelah usia 65.
solusi 
(a) probabilitas yang dibutuhkan adalah

(b) probabilitas yang dibutuhkan adalah 

(c) probabilitas yang dibutuhkan adalah

Kita berkomentar bahwa dalam contoh di atas, S0 (120) = 0, yang berarti bahwa dalam model ini, bertahan hidup setelah usia 120 tidak mungkin. Dalam hal ini kita lihat 120 sebagai usia membatasi model. Secara umum, jika ada usia yang membatasi, kita menggunakan huruf Yunani ω untuk menunjukkan itu. Dalam model dimana tidak ada pembatasan usia, maka sering praktis untuk memperkenalkan usia pembatas dalam perhitungan, seperti yang akan kita lihat nanti dalam postingan selanjuatnya.