SURVIVAL MODEL

Ketika sebuah perusahaan asuransi menerbitkan kebijakan, maka tanggal kematian pemegang polis tidak diketahui, sehingga perusahaan asuransi tidak tahu persis ketika benefit dari kematian akan dibayarkan. Dalam rangka untuk memperkirakan waktu di mana benefit dari kematian dibayarkan, perusahaan asuransi membutuhkan model kematian manusia, dari yang kemungkinan kematian pada usia tertentu dapat dihitung, dan ini adalah topik postingan ini.

Misalkan (x) menotasikan suatu umur x, dimana x lebih besar sama dengan 0 (nol). Kematian dari (x) dapat terjadi pada setiap usia yang lebih besar dari x, dan model kehidupan masa mendatang dari x dengan variabel kontinyu yang dinotasikan oleh Tx . berarti x +  Tx  merupakan variabel usia pada saat kematian untuk (x).

misalkan Fx  adalah fungsi distribusi dari Tx , sehingga

 maka Fx  merupakan peluang bahwa (x) tidak bertahan hidup melebihi x + t. dan kita lihat Fx sebagai distribusi waktu hidup dari usia x. Dalam masalah asuransi jiwa lebih tertarik pada probabilitas kelangsungan hidup daripada kematian, dan begitu kita mendefinisikan Sx sebagai

Dengan demikian, Sx(t) merupakan probabilitas bahwa (x) bertahan selama bertahun-tahun setidaknya t, dan Sx dikenal sebagai survival fuction. 

Mengingat penafsiran kita tentang pengumpulan variabel acak {Tx} x ≥ 0 sebagai masa depan waktu hidup individu, kita perlu koneksi antara setiap pasang dari mereka. Untuk melihat ini, perhatikan T0 dan Tx untuk individu tertentu yang kini berusia x. T0 merupkan variabel acak mewakili waktu hidup di masa depan yang lahir untuk individu ini, sehingga, saat lahir, usia individu pada saat kematian akan diwakili oleh T0. Orang ini bisa saja meninggal sebelum usia mencapai x - kemungkinan ini Pr [T0 <x] - tetapi telah bertahan hidup. Sekarang individu telah bertahan samapai usia x, sehingga T0> x, seumur hidup masa nya diwakili oleh Tx dan usia saat meninggal sekarang x + Tx. Jika individu meninggal dalam tahun t dari sekarang, maka Tx ≤ t dan T0 ≤ x + t. Dapat dikatakan, kita memerlukan peristiwa [Tx ≤ t] dan [T0 ≤ x + t] untuk menjadi setara, mengingat bahwa individu bertahan dengan usia x. Untuk mencapai hal ini dengan membuat asumsi berikut untuk semua x ≥ 0 dan untuk semua t >0.

 Ini merupakan hubungan penting.

Sekarang, ingat dari teori probabilitas bahwa untuk dua event A dan B. 

begitu, menafsirkan [T0 ≤ x + t] sebagai kejadian A, dan [T0> x] sebagai peristiwa B, kita dapat
mengatur ulang sisi kanan untuk memperoleh

 ini berarti

 juga dengan menggunakan 

maka

yang dapat di tulis sebagai,

Ini adalah hasil yang sangat penting. Hal ini menunjukkan bahwa kita dapat menafsirkan probabilitas bertahan hidup dari usia x sampai usia x + t sebagai produk dari :
(1) peluang bertahan hidup sampai usia x sejak lahir, dan
(2) peluang, setelah betahan hidup sampai usia x, untuk lebih bertahan hidup untuk usia x + t.
contoh:
misal 

 Hitung probabilitas bahwa
(a) kehidupan baru lahir selamat setelah usia 30
(b) hidup yang berusia 30 meninggal sebelum usia 50, dan
(c) kehidupan yang berusia 40 bertahan setelah usia 65.
solusi 
(a) probabilitas yang dibutuhkan adalah

(b) probabilitas yang dibutuhkan adalah 

(c) probabilitas yang dibutuhkan adalah

Kita berkomentar bahwa dalam contoh di atas, S0 (120) = 0, yang berarti bahwa dalam model ini, bertahan hidup setelah usia 120 tidak mungkin. Dalam hal ini kita lihat 120 sebagai usia membatasi model. Secara umum, jika ada usia yang membatasi, kita menggunakan huruf Yunani ω untuk menunjukkan itu. Dalam model dimana tidak ada pembatasan usia, maka sering praktis untuk memperkenalkan usia pembatas dalam perhitungan, seperti yang akan kita lihat nanti dalam postingan selanjuatnya.